MediuInducție matematicăClasa 9

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc inegalitatea 1+12+13+⋯+1n>2(n+1−1)1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} > 2(\sqrt{n+1} - 1).

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
12 puncte
Se verifică cazul de bază pentru n=1: 1>2(2−1)1 > 2(\sqrt{2} - 1). Deoarece 2≈1.414\sqrt{2} \approx 1.414, avem 2(1.414−1)=0.8282(1.414 - 1) = 0.828, iar 1 > 0.828, deci inegalitatea este adevărată.
28 puncte
Pasul inductiv: se presupune că inegalitatea este adevărată pentru n=k, adică 1+12+⋯+1k>2(k+1−1)1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k}} > 2(\sqrt{k+1} - 1). Pentru n=k+1, trebuie să demonstrăm că 1+12+⋯+1k+1k+1>2(k+2−1)1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > 2(\sqrt{k+2} - 1). Adăugând 1k+1\frac{1}{\sqrt{k+1}} la ambii membri ai inegalității inductive, obținem 2(k+1−1)+1k+1>2(k+2−1)2(\sqrt{k+1} - 1) + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > 2(\sqrt{k+2} - 1). Această inegalitate este echivalentă cu 1k+1>2(k+2−k+1)\frac{1}{\sqrt{k+1}} > 2(\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1}). Înmulțind cu k+1(k+2+k+1)>0\sqrt{k+1}(\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1}) > 0, se obține k+2+k+1>2k+1\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1} > 2\sqrt{k+1}, care este adevărată deoarece k+2>k+1\sqrt{k+2} > \sqrt{k+1}. Astfel, inegalitatea este demonstrată pentru n=k+1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.