MediuIdentități algebriceClasa 9

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul de ecuații: {x+y+z=6x2+y2+z2=14x3+y3+z3=36\begin{cases} x+y+z=6 \\ x^2+y^2+z^2=14 \\ x^3+y^3+z^3=36 \end{cases} pentru x,y,z∈Rx,y,z \in \mathbb{R}, folosind identități algebrice.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Aplicăm identitatea (x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx). Din x+y+z=6x+y+z=6 și x2+y2+z2=14x^2+y^2+z^2=14, obținem 36=14+2(xy+yz+zx)36 = 14 + 2(xy+yz+zx), deci xy+yz+zx=11xy+yz+zx = 11.
23 puncte
Folosim identitatea x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-zx). Înlocuind valorile, 36−3xyz=6(14−11)=6×3=1836 - 3xyz = 6(14 - 11) = 6 \times 3 = 18, deci 3xyz=183xyz = 18 și xyz=6xyz = 6.
33 puncte
x,y,zx, y, z sunt rădăcinile ecuației cubice t3−(x+y+z)t2+(xy+yz+zx)t−xyz=0t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz = 0, adică t3−6t2+11t−6=0t^3 - 6t^2 + 11t - 6 = 0. Factorizăm: (t−1)(t−2)(t−3)=0(t-1)(t-2)(t-3)=0, deci soluțiile sunt t=1,t=2,t=3t=1, t=2, t=3.
42 puncte
Verificăm că tripleta (1,2,3)(1,2,3) (sau orice permutare) satisface sistemul: 1+2+3=61+2+3=6, 12+22+32=1+4+9=141^2+2^2+3^2=1+4+9=14, 13+23+33=1+8+27=361^3+2^3+3^3=1+8+27=36. Deci soluțiile sunt x,y,z∈{1,2,3}x,y,z \in \{1,2,3\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.