MediuTeoria MulțimilorClasa 11

Problemă rezolvată de Teoria Mulțimilor

MediuTeoria MulțimilorDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x+1f(x) = x^3 - 3x + 1. Considerăm mulțimile A={x∈R∣f(x)≤0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) \leq 0 \} și B={x∈R∣f′(x)=0}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid f'(x) = 0 \}, unde f′f' este derivata lui ff. Determinați A∩BA \cap B și A∪BA \cup B.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculul derivatei: f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3. Rezolvarea ecuației f′(x)=0f'(x)=0: 3x2−3=0⇒x2=1⇒x=−1 sau x=13x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = -1 \text{ sau } x = 1. Deci B={−1,1}B = \{ -1, 1 \}.
24 puncte
Studiul semnului funcției f: Se calculează f(−1)=3f(-1) = 3, f(1)=−1f(1) = -1. Funcția este crescătoare pe (−∞,−1](-\infty, -1] și [1,∞)[1, \infty), descrescătoare pe [−1,1][-1,1]. Rezolvând f(x)≤0f(x) \leq 0, se obține că A=(−∞,x1]∪[x2,x3]A = (-\infty, x_1] \cup [x_2, x_3], unde x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 sunt rădăcinile reale ale ecuației f(x)=0f(x)=0, cu x1≈−1.879x_1 \approx -1.879, x2≈0.347x_2 \approx 0.347, x3≈1.532x_3 \approx 1.532.
32 puncte
Determinarea mulțimilor: A∩B={1}A \cap B = \{ 1 \} deoarece f(1)=−1≤0f(1) = -1 \leq 0 și 1∈B1 \in B, iar f(−1)=3>0f(-1) = 3 > 0 deci −1∉A-1 \notin A. A∪B=A∪{−1}A \cup B = A \cup \{ -1 \}, adică (−∞,x1]∪[x2,x3]∪{−1}(-\infty, x_1] \cup [x_2, x_3] \cup \{ -1 \}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Teoria Mulțimilor

Mediu#1Teoria MulțimilorLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea M={x∈R∣x>0}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} și operația ∘\circ definită prin x∘y=xyx+yx \circ y = \frac{xy}{x+y}. a) Arătați că ∘\circ este comutativă dar nu este asociativă. b) Rezolvați ecuația (x∘2)∘3=1(x \circ 2) \circ 3 = 1.
Ușor#2Teoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−5x+6<0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 < 0 \} și B={x∈R∣∣x−2∣≤1}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x-2| \leq 1 \}. Determinați A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și A∖BA \setminus B.
Ușor#3Teoria MulțimilorEcuații logaritmice
Determinați mulțimea A={x∈R∣log⁡2(x−1)+log⁡2(x+3)=3}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x-1) + \log_2(x+3) = 3 \}.
Ușor#4Teoria MulțimilorLogică matematică
Demonstrați că pentru orice mulțimi AA, BB și CC, avem A∖(B∩C)=(A∖B)∪(A∖C)A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C). Utilizați definițiile operațiilor cu mulțimi și proprietățile lor.
Vezi toate problemele de Teoria Mulțimilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Teoria Mulțimilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.