MediuTeoria MulțimilorClasa 10

Problemă rezolvată de Teoria Mulțimilor

MediuTeoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Fie mulțimile A={x∈R∣x2+ax+b=0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 + ax + b = 0 \} și B={x∈R∣x2+cx+d=0}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 + cx + d = 0 \}, unde a,b,c,d∈Ra,b,c,d \in \mathbb{R}. Știind că A∩B={1}A \cap B = \{1\} și A∪B={−1,1,2}A \cup B = \{-1,1,2\}, determinați coeficienții a,b,c,da,b,c,d.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Din A∩B={1}A \cap B = \{1\}, deducem că 11 este rădăcină comună, deci 12+a⋅1+b=01^2 + a \cdot 1 + b = 0 și 12+c⋅1+d=01^2 + c \cdot 1 + d = 0, adică a+b=−1a + b = -1 și c+d=−1c + d = -1.
23 puncte
Din A∪B={−1,1,2}A \cup B = \{-1,1,2\}, mulțimea tuturor rădăcinilor este {−1,1,2}\{-1,1,2\}. Pentru ca intersecția să fie {1}\{1\} și reuniunea {−1,1,2}\{-1,1,2\}, una dintre ecuații are rădăcinile 11 și −1-1, iar cealaltă are rădăcinile 11 și 22.
34 puncte
Dacă AA are rădăcinile 11 și −1-1, atunci x2+ax+b=(x−1)(x+1)=x2−1x^2 + ax + b = (x-1)(x+1) = x^2 - 1, deci a=0a=0, b=−1b=-1. Dacă BB are rădăcinile 11 și 22, atunci x2+cx+d=(x−1)(x−2)=x2−3x+2x^2 + cx + d = (x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2, deci c=−3c=-3, d=2d=2. Verificăm că A∩B={1}A \cap B = \{1\} și A∪B={−1,1,2}A \cup B = \{-1,1,2\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Teoria Mulțimilor

Mediu#1Teoria MulțimilorLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea M={x∈R∣x>0}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} și operația ∘\circ definită prin x∘y=xyx+yx \circ y = \frac{xy}{x+y}. a) Arătați că ∘\circ este comutativă dar nu este asociativă. b) Rezolvați ecuația (x∘2)∘3=1(x \circ 2) \circ 3 = 1.
Ușor#2Teoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−5x+6<0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 < 0 \} și B={x∈R∣∣x−2∣≤1}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x-2| \leq 1 \}. Determinați A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și A∖BA \setminus B.
Ușor#3Teoria MulțimilorEcuații logaritmice
Determinați mulțimea A={x∈R∣log⁡2(x−1)+log⁡2(x+3)=3}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x-1) + \log_2(x+3) = 3 \}.
Ușor#4Teoria MulțimilorLogică matematică
Demonstrați că pentru orice mulțimi AA, BB și CC, avem A∖(B∩C)=(A∖B)∪(A∖C)A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C). Utilizați definițiile operațiilor cu mulțimi și proprietățile lor.
Vezi toate problemele de Teoria Mulțimilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Teoria Mulțimilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.