MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorGeometrie AnaliticăMatematică aplicată
Fie o sferă de rază RR. Se consideră un cilindru circular drept înscris în sferă. Determinați dimensiunile cilindrului (raza bazei și înălțimea) pentru care volumul acestuia este maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Exprimați volumul cilindrului în funcție de raza bazei rr. Avem înălțimea h=2R2−r2h = 2\sqrt{R^2 - r^2} și V(r)=πr2h=2πr2R2−r2V(r) = \pi r^2 h = 2\pi r^2 \sqrt{R^2 - r^2}.
23 puncte
Calculați derivata V′(r)V'(r): V′(r)=2π(2rR2−r2+r2⋅−rR2−r2)=2πr2(R2−r2)−r2R2−r2=2πr2R2−3r2R2−r2V'(r) = 2\pi \left( 2r \sqrt{R^2 - r^2} + r^2 \cdot \frac{-r}{\sqrt{R^2 - r^2}} \right) = 2\pi r \frac{2(R^2 - r^2) - r^2}{\sqrt{R^2 - r^2}} = 2\pi r \frac{2R^2 - 3r^2}{\sqrt{R^2 - r^2}}.
33 puncte
Determinați punctele critice: V′(r)=0V'(r)=0 dă r=0r=0 sau 2R2−3r2=02R^2 - 3r^2=0, deci r=R63r = \frac{R\sqrt{6}}{3} (considerând r>0r>0).
42 puncte
Verificați că r=R63r = \frac{R\sqrt{6}}{3} este punct de maxim analizând semnul derivatei. Atunci h=2R2−(R63)2=2R2−2R23=2R23=2R33h = 2\sqrt{R^2 - \left(\frac{R\sqrt{6}}{3}\right)^2} = 2\sqrt{R^2 - \frac{2R^2}{3}} = 2\sqrt{\frac{R^2}{3}} = \frac{2R\sqrt{3}}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.