MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiGeometrie Analitică
În planul cartezian, se consideră punctele A(1,2)A(1,2), B(4,5)B(4,5) și C(3,−1)C(3,-1). Calculați aria triunghiului ABCABC folosind un determinant. Apoi, verificați dacă punctele sunt coliniare și, dacă nu, determinați ecuația înălțimii din AA pe latura BCBC folosind determinanți.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Aria triunghiului este 12∣D∣\frac{1}{2} |D|, unde D=∣1214513−11∣D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 5 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix}. Calculăm: D=1⋅∣51−11∣−2⋅∣4131∣+1⋅∣453−1∣=1(5⋅1−1⋅(−1))−2(4⋅1−1⋅3)+1(4⋅(−1)−5⋅3)=6−2⋅1+(−19)=−15D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 1(5 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) - 2(4 \cdot 1 - 1 \cdot 3) + 1(4 \cdot (-1) - 5 \cdot 3) = 6 - 2 \cdot 1 + (-19) = -15. Aria este 12∣−15∣=152\frac{1}{2} | -15 | = \frac{15}{2}.
22 puncte
Punctele sunt coliniare dacă D=0D=0. Cum D=−15≠0D = -15 \neq 0, punctele nu sunt coliniare.
34 puncte
Ecuația dreptei BCBC se obține din ∣xy14513−11∣=0\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ 4 & 5 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0, care dă 6x−y−19=06x - y - 19 = 0. Panta acestei drepte este 66. Înălțimea din AA este perpendiculară pe BCBC, deci are panta −16-\frac{1}{6}. Ecuația dreptei cu panta −16-\frac{1}{6} care trece prin A(1,2)A(1,2) este y−2=−16(x−1)y - 2 = -\frac{1}{6}(x - 1), adică x+6y−13=0x + 6y - 13 = 0. Această ecuație poate fi derivată și din condiții cu determinanți, de exemplu, prin verificarea perpendicularității.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.