MediuIdentități algebriceClasa 10

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceNumere ComplexeInducție matematică
Fie zz un număr complex nenul astfel încât z+1z=2cos⁡θz + \frac{1}{z} = 2\cos\theta, unde θ∈R\theta \in \mathbb{R}. Utilizând identități algebrice, demonstrați prin inducție matematică că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, avem zn+1zn=2cos⁡(nθ)z^n + \frac{1}{z^n} = 2\cos(n\theta).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Pentru n=1n=1, z1+1z1=2cos⁡θz^1 + \frac{1}{z^1} = 2\cos\theta, adevărat conform ipotezei. |
21 punct
Se presupune adevărat pentru n=kn=k și n=k−1n=k-1, adică zk+1zk=2cos⁡(kθ)z^k + \frac{1}{z^k} = 2\cos(k\theta) și zk−1+1zk−1=2cos⁡((k−1)θ)z^{k-1} + \frac{1}{z^{k-1}} = 2\cos((k-1)\theta). |
34 puncte
Se folosește identitatea algebrică: zk+1+1zk+1=(zk+1zk)(z+1z)−(zk−1+1zk−1)z^{k+1} + \frac{1}{z^{k+1}} = (z^k + \frac{1}{z^k})(z + \frac{1}{z}) - (z^{k-1} + \frac{1}{z^{k-1}}). |
42 puncte
Se substituie ipotezele de inducție și ipoteza inițială: zk+1+1zk+1=2cos⁡(kθ)⋅2cos⁡θ−2cos⁡((k−1)θ)z^{k+1} + \frac{1}{z^{k+1}} = 2\cos(k\theta) \cdot 2\cos\theta - 2\cos((k-1)\theta). |
52 puncte
Se aplică identitatea trigonometrică 2cos⁡(kθ)cos⁡θ=cos⁡((k+1)θ)+cos⁡((k−1)θ)2\cos(k\theta)\cos\theta = \cos((k+1)\theta) + \cos((k-1)\theta), obținând zk+1+1zk+1=2[cos⁡((k+1)θ)+cos⁡((k−1)θ)]−2cos⁡((k−1)θ)=2cos⁡((k+1)θ)z^{k+1} + \frac{1}{z^{k+1}} = 2[\cos((k+1)\theta) + \cos((k-1)\theta)] - 2\cos((k-1)\theta) = 2\cos((k+1)\theta), ceea ce demonstrează afirmația pentru n=k+1n=k+1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.