MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăProbabilități
Se consideră un grup de 5 băieți și 3 fete. În câte moduri se pot așeza toți cei 8 într-un rând, astfel încât nici două fete să nu fie alăturate? Dacă se alege la întâmplare o astfel de aranjare, care este probabilitatea ca prima persoană din rând să fie fată?

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculează numărul de moduri de a aranja cei 5 băieți: 5!=1205! = 120.
23 puncte
Determină numărul de moduri de a plasa cele 3 fete în golurile dintre băieți astfel încât să nu fie alăturate: există 6 goluri (inclusiv capete), alege 3 goluri din 6: (63)\binom{6}{3}, și aranjează fetele: 3!3!, deci (63)⋅3!=20⋅6=120\binom{6}{3} \cdot 3! = 20 \cdot 6 = 120.
31 punct
Numărul total de aranjamente: 120⋅120=14400120 \cdot 120 = 14400.
42 puncte
Pentru aranjamentele cu prima persoană fată: alege fata pentru prima poziție (3 moduri), apoi aranjează băieții (5!=1205! = 120) și plasează celelalte două fete în golurile rămase (alegând 2 goluri din 5 și aranjând fetele: (52)⋅2!=10⋅2=20\binom{5}{2} \cdot 2! = 10 \cdot 2 = 20). Numărul favorabil: 3⋅120⋅20=72003 \cdot 120 \cdot 20 = 7200.
52 puncte
Probabilitatea: P=720014400=12P = \frac{7200}{14400} = \frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.