MediuIdentități algebriceClasa 10

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceNumere Complexe
Demonstrați că pentru orice numere complexe z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 astfel încât z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0 și ∣z1∣=∣z2∣=∣z3∣=1|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1, are loc identitatea z12+z22+z32=0z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Din z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0, ridicăm la pătrat și aplicăm identitatea algebrică: (z1+z2+z3)2=z12+z22+z32+2(z1z2+z1z3+z2z3)=0(z_1 + z_2 + z_3)^2 = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + 2(z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3) = 0, deci z12+z22+z32=−2(z1z2+z1z3+z2z3)z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = -2(z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3).
24 puncte
Folosim condiția ∣zi∣=1|z_i| = 1, care implică zizi‾=1z_i \overline{z_i} = 1 pentru i=1,2,3i = 1,2,3. Din z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0, avem și z1‾+z2‾+z3‾=0\overline{z_1} + \overline{z_2} + \overline{z_3} = 0. Calculăm z1z2+z1z3+z2z3z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3 folosind acestea: înmulțim z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0 cu z1‾z2‾z3‾\overline{z_1}\overline{z_2}\overline{z_3} sau observăm că din simetrie și proprietăți, z1z2+z1z3+z2z3=z1‾z2‾+z1‾z3‾+z2‾z3‾z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3 = \overline{z_1}\overline{z_2} + \overline{z_1}\overline{z_3} + \overline{z_2}\overline{z_3}, iar apoi folosind z1‾+z2‾+z3‾=0\overline{z_1} + \overline{z_2} + \overline{z_3} = 0, obținem că z1z2+z1z3+z2z3=0z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3 = 0.
33 puncte
Înlocuind în expresia de la pasul 1, deducem că z12+z22+z32=0z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.