MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrie
În triunghiul ABC, se cunosc lungimile laturilor BC=7BC = 7, CA=5CA = 5 și cos⁡∠ACB=17\cos \angle ACB = \frac{1}{7}. Să se calculeze: a) lungimea laturii ABAB; b) aria triunghiului ABCABC; c) raza cercului înscris în triunghiul ABCABC.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aplicăm teorema cosinusului în triunghiul ABC pentru unghiul C: AB2=AC2+BC2−2⋅AC⋅BC⋅cos⁡CAB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C. Cu AC=5AC=5, BC=7BC=7, cos⁡C=17\cos C = \frac{1}{7}, obținem AB2=25+49−2⋅5⋅7⋅17=74−10=64AB^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{1}{7} = 74 - 10 = 64, deci AB=8AB = 8.
23 puncte
Calculăm aria triunghiului folosind formula S=12⋅AC⋅BC⋅sin⁡CS = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin C. Mai întâi, sin⁡C=1−cos⁡2C=1−149=4849=437\sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} = \sqrt{1 - \frac{1}{49}} = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{4\sqrt{3}}{7}. Atunci S=12⋅5⋅7⋅437=12⋅5⋅43=103S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4\sqrt{3} = 10\sqrt{3}.
34 puncte
Raza cercului înscris se calculează cu formula r=Spr = \frac{S}{p}, unde pp este semiperimetrul. p=AB+BC+CA2=8+7+52=202=10p = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{8 + 7 + 5}{2} = \frac{20}{2} = 10. Deci r=10310=3r = \frac{10\sqrt{3}}{10} = \sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.