MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
În paralelogramul ABCD, fie M și N punctele pe diagonala AC astfel încât AM = MN = NC. Exprimați vectorii BM⃗\vec{BM} și DN⃗\vec{DN} în funcție de AB⃗\vec{AB} și AD⃗\vec{AD}, apoi demonstrați că punctele B, M, D, N sunt coliniare.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm AB⃗=u⃗\vec{AB} = \vec{u} și AD⃗=v⃗\vec{AD} = \vec{v}, deci AC⃗=u⃗+v⃗\vec{AC} = \vec{u} + \vec{v}.
23 puncte
Deoarece AM = MN = NC, avem AM⃗=13AC⃗=13(u⃗+v⃗)\vec{AM} = \frac{1}{3} \vec{AC} = \frac{1}{3}(\vec{u} + \vec{v}) și AN⃗=23AC⃗=23(u⃗+v⃗)\vec{AN} = \frac{2}{3} \vec{AC} = \frac{2}{3}(\vec{u} + \vec{v}).
32 puncte
Exprimăm BM⃗=AM⃗−AB⃗=13(u⃗+v⃗)−u⃗=13v⃗−23u⃗\vec{BM} = \vec{AM} - \vec{AB} = \frac{1}{3}(\vec{u} + \vec{v}) - \vec{u} = \frac{1}{3}\vec{v} - \frac{2}{3}\vec{u} și DN⃗=AN⃗−AD⃗=23(u⃗+v⃗)−v⃗=23u⃗−13v⃗\vec{DN} = \vec{AN} - \vec{AD} = \frac{2}{3}(\vec{u} + \vec{v}) - \vec{v} = \frac{2}{3}\vec{u} - \frac{1}{3}\vec{v}.
43 puncte
Observăm că DN⃗=−2BM⃗\vec{DN} = -2 \vec{BM}, deci vectorii sunt coliniari, ceea ce demonstrează că punctele B, M, D, N sunt coliniare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.