MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorGeometrie AnaliticăArii și volume
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Determinați punctele de extrem local ale funcției și ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x=1x = 1. Apoi, calculați aria triunghiului format de tangentă și axele de coordonate.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se calculează derivata: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x. Se rezolvă f′(x)=0f'(x)=0, adică 3x2−6x=03x^2-6x=0, obținând x=0x=0 și x=2x=2.\n
22 puncte
Se studiază semnul derivatei sau se folosește derivata a doua: f′′(x)=6x−6f''(x)=6x-6. Pentru x=0x=0, f′′(0)=−6<0f''(0)=-6<0, deci x=0x=0 este punct de maxim local cu f(0)=4f(0)=4. Pentru x=2x=2, f′′(2)=6>0f''(2)=6>0, deci x=2x=2 este punct de minim local cu f(2)=0f(2)=0.\n
32 puncte
Se calculează f(1)=2f(1)=2 și f′(1)=−3f'(1)=-3. Ecuația tangentei: y−2=−3(x−1)y-2=-3(x-1), deci y=−3x+5y=-3x+5.\n
42 puncte
Se determină intersecțiile cu axele: pentru y=0y=0, x=53x=\frac{5}{3}; pentru x=0x=0, y=5y=5. Punctele sunt A(53,0)A\left(\frac{5}{3},0\right) și B(0,5)B(0,5).\n
52 puncte
Aria triunghiului dreptunghic: A=12⋅53⋅5=256A=\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdot 5 = \frac{25}{6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.