MediuInducție matematicăClasa 9

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăPolinoameIdentități algebrice
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul Pn(x)=x2n−1P_n(x) = x^{2n} - 1 este divizibil cu x2−1x^2 - 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificăm cazul de bază pentru n=1n=1. Avem P1(x)=x2−1P_1(x) = x^2 - 1, care este evident divizibil cu x2−1x^2 - 1.
23 puncte
Presupunem că pentru un anumit n=kn=k, polinomul Pk(x)=x2k−1P_k(x) = x^{2k} - 1 este divizibil cu x2−1x^2 - 1. Aceasta este ipoteza de inducție.
35 puncte
Demonstrăm pentru n=k+1n=k+1. Avem Pk+1(x)=x2(k+1)−1=x2k+2−1P_{k+1}(x) = x^{2(k+1)} - 1 = x^{2k+2} - 1. Scriem x2k+2−1=x2⋅x2k−1=x2(x2k−1)+(x2−1)x^{2k+2} - 1 = x^2 \cdot x^{2k} - 1 = x^2(x^{2k} - 1) + (x^2 - 1). Folosind ipoteza de inducție, x2k−1x^{2k} - 1 este divizibil cu x2−1x^2 - 1, deci x2(x2k−1)x^2(x^{2k} - 1) este divizibil cu x2−1x^2 - 1. În plus, x2−1x^2 - 1 este divizibil cu el însuși. Prin urmare, suma lor este divizibilă cu x2−1x^2 - 1, adică Pk+1(x)P_{k+1}(x) este divizibil cu x2−1x^2 - 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.