MediuInducție matematicăClasa 9

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea ∑k=1nk(k+1)=n(n+1)(n+2)3\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}. Apoi, utilizați acest rezultat pentru a calcula suma S=2⋅3+3⋅4+⋯+20⋅21S = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + 20 \cdot 21.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se verifică cazul de bază: Pentru n=1n=1, stânga: 1⋅2=21 \cdot 2 = 2, dreapta: 1⋅2⋅33=2\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2, deci egalitatea este adevărată.
24 puncte
Se presupune că egalitatea este adevărată pentru n=kn=k, adică ∑i=1ki(i+1)=k(k+1)(k+2)3\sum_{i=1}^{k} i(i+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3} (ipoteza de inducție). Se demonstrează pentru n=k+1n=k+1: adăugăm termenul (k+1)(k+2)(k+1)(k+2) la ambele părți. Stânga devine ∑i=1k+1i(i+1)=k(k+1)(k+2)3+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k3+1)=(k+1)(k+2)⋅k+33=(k+1)(k+2)(k+3)3\sum_{i=1}^{k+1} i(i+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)\left(\frac{k}{3} + 1\right) = (k+1)(k+2)\cdot\frac{k+3}{3} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}, care este formula pentru n=k+1n=k+1.
34 puncte
Pentru a calcula S=2⋅3+3⋅4+⋯+20⋅21S = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + 20 \cdot 21, observăm că aceasta este suma de la n=2n=2 la n=20n=20 a termenilor n(n+1)n(n+1). Folosind formula demonstrată, suma de la 11 la 2020 este 20⋅21⋅223=3080\frac{20 \cdot 21 \cdot 22}{3} = 3080. Scădem termenul pentru n=1n=1, care este 1⋅2=21 \cdot 2 = 2, deci S=3080−2=3078S = 3080 - 2 = 3078.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.