MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 10

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se rezolve sistemul de ecuații {log⁡2(x)+log⁡2(y)=3x2+y2=20\begin{cases} \log_2(x) + \log_2(y) = 3 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases} pentru x,y>0x, y > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Din prima ecuație, folosind proprietățile logaritmilor, avem log⁡2(xy)=3\log_2(xy) = 3, deci xy=23=8xy = 2^3 = 8.
23 puncte
Sistemul devine {xy=8x2+y2=20\begin{cases} xy = 8 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}. Notăm s=x+ys = x+y și p=xy=8p = xy = 8. Atunci x2+y2=(x+y)2−2xy=s2−16x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = s^2 - 16.
33 puncte
Din a doua ecuație, s2−16=20s^2 - 16 = 20, deci s2=36s^2 = 36, așadar s=±6s = \pm 6. Deoarece x,y>0x, y > 0, avem s=x+y>0s = x+y > 0, deci s=6s = 6.
42 puncte
xx și yy sunt rădăcinile ecuației t2−st+p=0t^2 - st + p = 0, adică t2−6t+8=0t^2 - 6t + 8 = 0. Discriminantul este Δ=36−32=4\Delta = 36 - 32 = 4, deci t=6±22t = \frac{6 \pm 2}{2}, așadar t=4t = 4 sau t=2t = 2. Soluțiile sunt (x,y)=(4,2)(x,y) = (4,2) și (2,4)(2,4).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.