MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateDerivateFuncția de gradul al II-lea
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)={x2+ax+b,daca˘ x≤1cx−1+d,daca˘ x>1f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b, & \text{dacă } x \leq 1 \\ c\sqrt{x-1} + d, & \text{dacă } x > 1 \end{cases}. Determinați parametrii reali a,b,c,da, b, c, d astfel încât ff să fie continuă pe R\mathbb{R} și derivabilă în punctul x=1x=1, cu f′(1)=0f'(1)=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem condiția de continuitate în x=1x=1: lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1+f(x)=f(1)\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1). Obținem 1+a+b=d1 + a + b = d.\n
23 puncte
Scriem condiția de derivabilitate în x=1x=1: fs′(1)=fd′(1)=f′(1)=0f'_s(1) = f'_d(1) = f'(1) = 0. Calculăm fs′(1)=lim⁡x→1−f(x)−f(1)x−1=2+af'_s(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = 2 + a și fd′(1)=lim⁡x→1+f(x)−f(1)x−1=lim⁡x→1+cx−1+d−dx−1=lim⁡x→1+cx−1x−1=lim⁡x→1+cx−1f'_d(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{c\sqrt{x-1} + d - d}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{c\sqrt{x-1}}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{c}{\sqrt{x-1}}. Pentru ca această limită să fie finită și egală cu 0, trebuie ca c=0c=0.\n
34 puncte
Din fs′(1)=0f'_s(1)=0 avem 2+a=02 + a = 0, deci a=−2a = -2. Din c=0c=0 și condiția de continuitate, d=1+a+b=1−2+b=b−1d = 1 + a + b = 1 - 2 + b = b - 1. Parametrii sunt a=−2a=-2, b∈Rb \in \mathbb{R} arbitrar, c=0c=0, d=b−1d=b-1. Verificăm că pentru orice b∈Rb \in \mathbb{R}, funcția este continuă și derivabilă în x=1x=1 cu derivată nulă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.