MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 10

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere RealeLogaritmi
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale sistemul: {2x+3y=172x⋅3y=72\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ 2^{x} \cdot 3^{y} = 72 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Notăm a=2xa = 2^{x} și b=3yb = 3^{y}. Sistemul devine {a+b=17a⋅b=72\begin{cases} a + b = 17 \\ a \cdot b = 72 \end{cases}, transformându-l într-un sistem liniar-neliniar simplu.\n
23 puncte
Din prima ecuație, exprimăm b=17−ab = 17 - a și substituim în a doua: a(17−a)=72a(17 - a) = 72, ceea ce dă ecuația a2−17a+72=0a^2 - 17a + 72 = 0.\n
32 puncte
Rezolvăm ecuația de gradul al doilea: Δ=(−17)2−4⋅1⋅72=289−288=1\Delta = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 289 - 288 = 1, deci a1,2=17±12a_{1,2} = \frac{17 \pm 1}{2}, adică a1=9a_1 = 9 și a2=8a_2 = 8. Atunci b1=8b_1 = 8 și b2=9b_2 = 9.\n
42 puncte
Revenim la variabilele originale: pentru a=9a = 9, avem 2x=92^{x} = 9, deci x=log⁡29=2log⁡23x = \log_2 9 = 2\log_2 3, iar b=8b = 8 dă 3y=83^{y} = 8, deci y=log⁡38y = \log_3 8. Pentru a=8a = 8, avem 2x=82^{x} = 8, deci x=3x = 3, iar b=9b = 9 dă 3y=93^{y} = 9, deci y=2y = 2.\n
51 punct
Soluțiile sistemului sunt (x,y)=(3,2)(x,y) = (3,2) și (x,y)=(log⁡29,log⁡38)(x,y) = (\log_2 9, \log_3 8).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.