MediuInducție matematicăClasa 10

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăNumere ComplexeTrigonometrie
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural nn, are loc formula lui Moivre: (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡nθ+isin⁡nθ(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificarea pentru n=0n=0: (cos⁡θ+isin⁡θ)0=1(\cos \theta + i \sin \theta)^0 = 1 și cos⁡0+isin⁡0=1+i⋅0=1\cos 0 + i \sin 0 = 1 + i \cdot 0 = 1, deci egalitatea este adevărată. (Se poate verifica și pentru n=1n=1 direct din definiție.)
21 punct
Presupunem că formula este adevărată pentru n=kn=k, adică (cos⁡θ+isin⁡θ)k=cos⁡kθ+isin⁡kθ(\cos \theta + i \sin \theta)^k = \cos k\theta + i \sin k\theta (ipoteza de inducție).
36 puncte
Demonstrăm pentru n=k+1n=k+1. Avem: (cos⁡θ+isin⁡θ)k+1=(cos⁡θ+isin⁡θ)k⋅(cos⁡θ+isin⁡θ)=(cos⁡kθ+isin⁡kθ)(cos⁡θ+isin⁡θ)(\cos \theta + i \sin \theta)^{k+1} = (\cos \theta + i \sin \theta)^k \cdot (\cos \theta + i \sin \theta) = (\cos k\theta + i \sin k\theta)(\cos \theta + i \sin \theta) (folosind ipoteza). Efectuăm înmulțirea: (cos⁡kθ+isin⁡kθ)(cos⁡θ+isin⁡θ)=cos⁡kθcos⁡θ+icos⁡kθsin⁡θ+isin⁡kθcos⁡θ+i2sin⁡kθsin⁡θ=cos⁡kθcos⁡θ−sin⁡kθsin⁡θ+i(cos⁡kθsin⁡θ+sin⁡kθcos⁡θ)(\cos k\theta + i \sin k\theta)(\cos \theta + i \sin \theta) = \cos k\theta \cos \theta + i \cos k\theta \sin \theta + i \sin k\theta \cos \theta + i^2 \sin k\theta \sin \theta = \cos k\theta \cos \theta - \sin k\theta \sin \theta + i(\cos k\theta \sin \theta + \sin k\theta \cos \theta). Folosind formulele trigonometrice: cos⁡kθcos⁡θ−sin⁡kθsin⁡θ=cos⁡(kθ+θ)=cos⁡((k+1)θ)\cos k\theta \cos \theta - \sin k\theta \sin \theta = \cos(k\theta + \theta) = \cos((k+1)\theta) și cos⁡kθsin⁡θ+sin⁡kθcos⁡θ=sin⁡(kθ+θ)=sin⁡((k+1)θ)\cos k\theta \sin \theta + \sin k\theta \cos \theta = \sin(k\theta + \theta) = \sin((k+1)\theta). Așadar, (cos⁡θ+isin⁡θ)k+1=cos⁡((k+1)θ)+isin⁡((k+1)θ)(\cos \theta + i \sin \theta)^{k+1} = \cos((k+1)\theta) + i \sin((k+1)\theta).
41 punct
Concluzie: Prin principiul inducției matematice, formula este adevărată pentru orice număr natural nn.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.