MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteLogaritmiStudiul funcțiilor
Determinați asimptotele funcției f:(−1,∞)∖{1}→Rf: (-1, \infty) \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x+1)x2−1f(x) = \frac{\ln(x+1)}{x^2 - 1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Identificăm domeniul: x>−1x > -1 (pentru ln⁡(x+1)\ln(x+1) definit) și x≠1x \neq 1 (numitorul x2−1=0x^2 - 1 = 0). Punctele suspecte pentru asimptote verticale sunt x=1x = 1 și x→−1+x \to -1^+.
23 puncte
Calculăm lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→1ln⁡(x+1)x2−1\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x+1)}{x^2 - 1}. Înlocuind, ln⁡(2)≠0\ln(2) \neq 0 și numitorul tinde la 0, deci limita este infinită. Astfel, x=1x = 1 este asimptotă verticală.
33 puncte
Calculăm lim⁡x→−1+f(x)=lim⁡x→−1+ln⁡(x+1)x2−1\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{\ln(x+1)}{x^2 - 1}. ln⁡(x+1)→−∞\ln(x+1) \to -\infty și pentru x>−1x > -1, x2−1<0x^2 - 1 < 0, deci numitorul tinde la 0 negativ, iar limita este +∞+\infty. Astfel, x=−1x = -1 este asimptotă verticală.
42 puncte
Calculăm lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞ln⁡(x+1)x2−1\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x+1)}{x^2 - 1}. Folosind comparația: pentru xx mare, ln⁡(x+1)\ln(x+1) crește mai încet decât x2x^2, deci limita este 0. Astfel, y=0y = 0 este asimptotă orizontală când x→∞x \to \infty. Nu există asimptote oblice.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.