MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 30x + 100, unde xx este cantitatea produsă în mii de unități. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x mii de lei. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul firmei, știind că profitul este P(x)=x⋅p(x)−C(x)P(x) = x \cdot p(x) - C(x).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrierea corectă a funcției profit: P(x)=x(50−0.5x)−(0.1x3−2x2+30x+100)=−0.1x3+1.5x2+20x−100P(x) = x(50 - 0.5x) - (0.1x^3 - 2x^2 + 30x + 100) = -0.1x^3 + 1.5x^2 + 20x - 100.
23 puncte
Calculul derivatei întâi: P′(x)=−0.3x2+3x+20P'(x) = -0.3x^2 + 3x + 20.
33 puncte
Rezolvarea ecuației P′(x)=0P'(x)=0: −0.3x2+3x+20=0⇒3x2−30x−200=0⇒x=30±900+24006=30±33006=30±10336-0.3x^2 + 3x + 20 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 30x - 200 = 0 \Rightarrow x = \frac{30 \pm \sqrt{900 + 2400}}{6} = \frac{30 \pm \sqrt{3300}}{6} = \frac{30 \pm 10\sqrt{33}}{6}. Se consideră doar soluția pozitivă relevantă din contextul economic: x=30+10336=15+5333x = \frac{30 + 10\sqrt{33}}{6} = \frac{15 + 5\sqrt{33}}{3} (aproximativ 10.54).
42 puncte
Verificarea că punctul critic este maxim folosind derivata a doua: P′′(x)=−0.6x+3P''(x) = -0.6x + 3. Pentru x=15+5333x = \frac{15 + 5\sqrt{33}}{3}, P′′(x)<0P''(x) < 0, deci este punct de maxim. Interpretare: cantitatea care maximizează profitul este x=15+5333x = \frac{15 + 5\sqrt{33}}{3} mii de unități.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.