MediuLogică matematicăClasa 11

Problemă rezolvată de Logică matematică

MediuLogică matematicăInducție matematicăȘiruri de numere reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} pentru orice n≥1n \geq 1. a) Folosiți principiul inducției matematice pentru a demonstra că an<2a_n < 2 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. b) Arătați că șirul este crescător. c) Demonstrați că șirul este convergent și calculați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificarea cazului de bază: pentru n=1, a1=1<2a_1=1<2, deci propoziția este adevărată.
23 puncte
Ipoteza de inducție: presupunem că ak<2a_k < 2 pentru un k∈N∗k \in \mathbb{N}^*. Atunci ak+1=2+ak<2+2=2a_{k+1} = \sqrt{2 + a_k} < \sqrt{2+2} = 2, deci ak+1<2a_{k+1} < 2, ceea ce încheie demonstrația prin inducție.
32 puncte
Arătarea că șirul este crescător: calculăm an+1−an=2+an−ana_{n+1} - a_n = \sqrt{2 + a_n} - a_n. Folosind an<2a_n < 2, avem 2+an>an2=an\sqrt{2 + a_n} > \sqrt{a_n^2} = a_n (deoarece an>0a_n > 0), deci diferența este pozitivă și șirul crescător.
43 puncte
Șirul este crescător și mărginit superior (de 2), deci convergent. Fie LL limita sa. Din relația de recurență, la limită avem L=2+LL = \sqrt{2+L}, deci L2=2+LL^2 = 2+L, adică L2−L−2=0L^2 - L - 2=0, cu soluțiile L=2L=2 și L=−1L=-1. Cum an>0a_n > 0 pentru orice nn, rezultă L=2L=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logică matematică

Ușor#1Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră ecuația x2−(m+1)x+m=0x^2 - (m+1)x + m = 0, cu m∈Rm \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: pp: „Discriminantul ecuației este pozitiv.” qq: „Suma rădăcinilor este mai mare decât produsul rădăcinilor.” rr: „Ecuația are o rădăcină egală cu 1.” a) Determinați valorile lui mm pentru care propoziția pp este adevărată. b) Stabiliți dacă propoziția qq este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}. c) Demonstrați că propoziția p∧q→rp \land q \rightarrow r este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}.
Ușor#2Logică matematicăNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră numărul complex z=a+biz = a + bi, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: PP: „zz este real.” QQ: „z2z^2 este real.” RR: „∣z∣=1|z| = 1.” a) Determinați condițiile asupra lui aa și bb pentru care propoziția PP este adevărată. b) Arătați că propoziția QQ este echivalentă cu ab=0ab = 0. c) Studiați valoarea de adevăr a implicației P∨Q→RP \lor Q \rightarrow R și dați un contraexemplu dacă este falsă.
Ușor#3Logică matematicăTeoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie predicatele p(x):x2−3x+2≥0p(x): x^2 - 3x + 2 \geq 0 și q(x):x≤1q(x): x \leq 1 sau x≥2x \geq 2, definite pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R}. Să se studieze valabilitatea echivalenței logice p(x)⇔q(x)p(x) \Leftrightarrow q(x) pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} și să se determine mulțimile A={x∈R∣p(x)}A = \{x \in \mathbb{R} \mid p(x)\} și B={x∈R∣q(x)}B = \{x \in \mathbb{R} \mid q(x)\}.
Mediu#4Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaFuncția de gradul I
Fie polinomul P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Se consideră propozițiile: AA: „P(x)P(x) are două rădăcini reale distincte”, BB: „Δ=b2−4ac>0\Delta = b^2 - 4ac > 0”, CC: „P(x)P(x) are cel puțin o rădăcină reală”. Să se studieze implicațiile logice între AA, BB și CC, în cazul a≠0a \neq 0 și în cazul a=0a=0.
Vezi toate problemele de Logică matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logică matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.