MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateLogaritmiEcuații exponentiale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)={ln⁡(x+1),daca˘ x≥0eax−1x,daca˘ x<0f(x) = \begin{cases} \ln(x+1), & \text{dacă } x \geq 0 \\ \frac{e^{ax} - 1}{x}, & \text{dacă } x < 0 \end{cases}. Studiați continuitatea funcției ff în punctul x=0x=0 în funcție de parametrul a∈Ra \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați f(0)=ln⁡(0+1)=ln⁡(1)=0f(0) = \ln(0+1) = \ln(1) = 0.
23 puncte
Calculați lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0−eax−1x\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{ax} - 1}{x}. Folosind substituția t=axt = ax și limita cunoscută lim⁡t→0et−1t=1\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1, obținem lim⁡x→0−eax−1x=a⋅lim⁡t→0et−1t=a⋅1=a\lim_{x \to 0^-} \frac{e^{ax} - 1}{x} = a \cdot \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = a \cdot 1 = a.
33 puncte
Calculați lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+ln⁡(x+1)=ln⁡(1)=0\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \ln(x+1) = \ln(1) = 0.
42 puncte
Pentru continuitate, este necesar ca lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0+f(x)=f(0)\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0). Din pașii anteriori, avem a=0a = 0. Așadar, ff este continuă în x=0x=0 dacă și numai dacă a=0a=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.