MediuIdentități algebriceClasa 11

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceȘiruri de numere realeInducție matematică
Să se demonstreze prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc identitatea: ∑k=1nk(k+1)(k+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)4\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificăm cazul de bază pentru n=1n=1: ∑k=11k(k+1)(k+2)=1⋅2⋅3=6\sum_{k=1}^{1} k(k+1)(k+2) = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 și 1⋅2⋅3⋅44=244=6\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{4} = \frac{24}{4} = 6, deci egalitatea este adevărată.
23 puncte
Presupunem că pentru un n≥1n \geq 1, avem ∑k=1nk(k+1)(k+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)4\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} (ipoteza de inducție).
35 puncte
Demonstrăm pentru n+1n+1: ∑k=1n+1k(k+1)(k+2)=∑k=1nk(k+1)(k+2)+(n+1)(n+2)(n+3)\sum_{k=1}^{n+1} k(k+1)(k+2) = \sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) + (n+1)(n+2)(n+3). Folosind ipoteza de inducție, aceasta devine n(n+1)(n+2)(n+3)4+(n+1)(n+2)(n+3)\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} + (n+1)(n+2)(n+3). Scoatem factor comun pe (n+1)(n+2)(n+3)(n+1)(n+2)(n+3): (n+1)(n+2)(n+3)(n4+1)=(n+1)(n+2)(n+3)⋅n+44=(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)4(n+1)(n+2)(n+3) \left( \frac{n}{4} + 1 \right) = (n+1)(n+2)(n+3) \cdot \frac{n+4}{4} = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{4}, care este exact forma dorită pentru n+1n+1. Astfel, prin inducție matematică, identitatea este demonstrată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.