MediuIdentități algebriceClasa 10

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie a,b,ca, b, c numere complexe astfel încât a+b+c=0a+b+c=0. Demonstrați că a4+b4+c4=12(a2+b2+c2)2a^4 + b^4 + c^4 = \frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Din a+b+c=0a+b+c=0, obține c=−a−bc = -a-b.
22 puncte
Calculează a2+b2+c2=a2+b2+(−a−b)2=2a2+2b2+2ab=2(a2+b2+ab)a^2+b^2+c^2 = a^2+b^2+(-a-b)^2 = 2a^2+2b^2+2ab = 2(a^2+b^2+ab).
33 puncte
Calculează a4+b4+c4=a4+b4+(a+b)4a^4+b^4+c^4 = a^4+b^4+(a+b)^4. Expandă (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4, deci a4+b4+c4=2a4+2b4+4a3b+6a2b2+4ab3a^4+b^4+c^4 = 2a^4+2b^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3.
43 puncte
Calculează 12(a2+b2+c2)2=12[2(a2+b2+ab)]2=2(a2+b2+ab)2\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)^2 = \frac{1}{2}[2(a^2+b^2+ab)]^2 = 2(a^2+b^2+ab)^2. Expandă (a2+b2+ab)2=a4+b4+3a2b2+2a3b+2ab3(a^2+b^2+ab)^2 = a^4+b^4+3a^2b^2+2a^3b+2ab^3, deci 2(a2+b2+ab)2=2a4+2b4+6a2b2+4a3b+4ab32(a^2+b^2+ab)^2 = 2a^4+2b^4+6a^2b^2+4a^3b+4ab^3.
51 punct
Observă că cele două expresii sunt identice, deci identitatea este demonstrată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.