MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorGeometrie Analitică
Se consideră funcția f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Determinați punctele de pe graficul funcției în care tangenta la grafic este paralelă cu dreapta de ecuație y=3x−1y = 3x - 1. Apoi, calculați distanța dintre aceste puncte.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se calculează derivata funcției: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x.
23 puncte
Tangenta este paralelă cu dreapta dată, deci panta tangentei este egală cu panta dreptei, adică f′(x)=3f'(x) = 3. Se rezolvă ecuația 3x2−6x=33x^2 - 6x = 3, deci 3x2−6x−3=03x^2 - 6x - 3 = 0, simplificând cu 3: x2−2x−1=0x^2 - 2x - 1 = 0. Soluțiile sunt x1=1−2x_1 = 1 - \sqrt{2} și x2=1+2x_2 = 1 + \sqrt{2}.
32 puncte
Se calculează ordonatele corespunzătoare: y1=f(x1)=(1−2)3−3(1−2)2+2y_1 = f(x_1) = (1 - \sqrt{2})^3 - 3(1 - \sqrt{2})^2 + 2 și y2=f(x2)=(1+2)3−3(1+2)2+2y_2 = f(x_2) = (1 + \sqrt{2})^3 - 3(1 + \sqrt{2})^2 + 2. După calcule, se obține y1=−22y_1 = -2\sqrt{2} și y2=22y_2 = 2\sqrt{2}.
42 puncte
Distanța dintre punctele A(x1,y1)A(x_1, y_1) și B(x2,y2)B(x_2, y_2) este d=(x2−x1)2+(y2−y1)2=(22)2+(42)2=8+32=40=210d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 32} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.