MediuInducție matematicăClasa 10

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăNumere Complexe
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n, (1+i)2n=2nin(1+i)^{2n} = 2^n i^n, unde ii este unitatea imaginară, i2=−1i^2 = -1.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
13 puncte
Pentru n=1, (1+i)2=1+2i+i2=1+2i−1=2i=21i1(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i = 2^1 i^1, deci este adevărat.
27 puncte
Se presupune că pentru un k natural, (1+i)2k=2kik(1+i)^{2k} = 2^k i^k (ipoteza inductivă). Se demonstrează pentru k+1: (1+i)2(k+1)=(1+i)2k+2=(1+i)2k⋅(1+i)2(1+i)^{2(k+1)} = (1+i)^{2k+2} = (1+i)^{2k} \cdot (1+i)^2. Folosind ipoteza inductivă, aceasta este 2kik⋅2i=2k⋅2⋅ik⋅i=2k+1ik+12^k i^k \cdot 2i = 2^k \cdot 2 \cdot i^k \cdot i = 2^{k+1} i^{k+1}, ceea ce completează demonstrația.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.