MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieArii și volume
În triunghiul ABCABC, se cunosc AB=12AB = 12 cm, AC=8AC = 8 cm, iar unghiul AA are măsura 60∘60^\circ. Determinați lungimea laturii BCBC, măsurile unghiurilor BB și CC, și aria triunghiului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aplicăm teorema cosinusului în triunghiul ABCABC pentru a găsi BCBC: BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡ABC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A. Calculăm BC2=122+82−2⋅12⋅8⋅cos⁡60∘=144+64−192⋅0.5=208−96=112BC^2 = 12^2 + 8^2 - 2 \cdot 12 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 144 + 64 - 192 \cdot 0.5 = 208 - 96 = 112, deci BC=112=47BC = \sqrt{112} = 4\sqrt{7} cm.
23 puncte
Folosim teorema sinusurilor: BCsin⁡A=ACsin⁡B=ABsin⁡C\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}. Avem 47sin⁡60∘=8sin⁡B\frac{4\sqrt{7}}{\sin 60^\circ} = \frac{8}{\sin B}, deci sin⁡B=8⋅sin⁡60∘47=8⋅3247=4347=37=217\sin B = \frac{8 \cdot \sin 60^\circ}{4\sqrt{7}} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{4\sqrt{7}} = \frac{4\sqrt{3}}{4\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}. Atunci B=arcsin⁡(217)B = \arcsin\left(\frac{\sqrt{21}}{7}\right). Similar, sin⁡C=AB⋅sin⁡ABC=12⋅3247=6347=3327=32114\sin C = \frac{AB \cdot \sin A}{BC} = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{4\sqrt{7}} = \frac{6\sqrt{3}}{4\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{21}}{14}, deci C=arcsin⁡(32114)C = \arcsin\left(\frac{3\sqrt{21}}{14}\right).
34 puncte
Aria triunghiului este A=12⋅AB⋅AC⋅sin⁡A=12⋅12⋅8⋅sin⁡60∘=48⋅32=243A = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3} cm2^2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.