MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteLogaritmiDerivate
Fie funcția f:(0,∞)∖{1}→Rf: (0, \infty) \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xx−1f(x) = \frac{\ln x}{x-1}. Determinați asimptotele verticale și orizontale ale funcției ff. Calculați lim⁡x→1f(x)\lim_{x \to 1} f(x) și interpretați rezultatul ca o derivată a unei funcții cunoscute.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Asimptota verticală: x=0x=0, deoarece lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+ln⁡xx−1=−∞−1=+∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x-1} = \frac{-\infty}{-1} = +\infty. Nu există asimptotă verticală în x=1x=1, deoarece lim⁡x→1f(x)\lim_{x \to 1} f(x) este finită (calculată la pasul 3).
23 puncte
Asimptota orizontală: y=0y=0, deoarece lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞ln⁡xx−1=0\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x-1} = 0 (se poate folosi regula lui l'Hôpital sau comparația de ordin).
34 puncte
Calculăm lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→1ln⁡xx−1\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1}. Această limită este definiția derivatei funcției ln⁡x\ln x în punctul x=1x=1: (ln⁡x)x=1′=1x∣x=1=1(\ln x)'_{x=1} = \frac{1}{x} \big|_{x=1} = 1. Prin urmare, lim⁡x→1f(x)=1\lim_{x \to 1} f(x) = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.