MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
În planul cartezian, se consideră vectorii a⃗=(m+1)i⃗+2j⃗\vec{a} = (m+1)\vec{i} + 2\vec{j} și b⃗=3i⃗+(n−1)j⃗\vec{b} = 3\vec{i} + (n-1)\vec{j}, unde m,n∈Rm, n \in \mathbb{R}. Determinați mm și nn astfel încât a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b} să fie coliniari și ∣a⃗∣=10|\vec{a}| = \sqrt{10}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Pentru coliniaritate, există k∈Rk \in \mathbb{R} astfel încât a⃗=kb⃗\vec{a} = k\vec{b}, deci (m+1)i⃗+2j⃗=k(3i⃗+(n−1)j⃗)(m+1)\vec{i} + 2\vec{j} = k(3\vec{i} + (n-1)\vec{j}), ceea ce implică m+1=3km+1 = 3k și 2=k(n−1)2 = k(n-1).
23 puncte
Din prima ecuație, k=m+13k = \frac{m+1}{3}. Înlocuind în a doua, obținem 2=m+13(n−1)2 = \frac{m+1}{3}(n-1), adică 6=(m+1)(n−1)6 = (m+1)(n-1).
32 puncte
Modulul lui a⃗\vec{a} este ∣a⃗∣=(m+1)2+22=(m+1)2+4|\vec{a}| = \sqrt{(m+1)^2 + 2^2} = \sqrt{(m+1)^2 + 4}. Impunem (m+1)2+4=10\sqrt{(m+1)^2 + 4} = \sqrt{10}, deci (m+1)2+4=10(m+1)^2 + 4 = 10, adică (m+1)2=6(m+1)^2 = 6.
42 puncte
Din (m+1)2=6(m+1)^2 = 6, avem m+1=±6m+1 = \pm\sqrt{6}. Pentru fiecare caz, folosim 6=(m+1)(n−1)6 = (m+1)(n-1) pentru a găsi nn. Dacă m+1=6m+1 = \sqrt{6}, atunci n−1=66=6n-1 = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}, deci n=1+6n = 1 + \sqrt{6}. Dacă m+1=−6m+1 = -\sqrt{6}, atunci n−1=6−6=−6n-1 = \frac{6}{-\sqrt{6}} = -\sqrt{6}, deci n=1−6n = 1 - \sqrt{6}. Soluțiile sunt (m,n)=(6−1,1+6)(m,n) = (\sqrt{6}-1, 1+\sqrt{6}) și (−6−1,1−6)(-\sqrt{6}-1, 1-\sqrt{6}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.