MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorAsimptote
Fie funcția f:R∖{0}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+1xf(x) = \frac{x^2 + 1}{x}. Studiați monotonia, determinați asimptotele și schițați graficul funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se simplifică funcția: f(x)=x+1xf(x) = x + \frac{1}{x}. Se calculează derivata: f′(x)=1−1x2f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}.
23 puncte
Se rezolvă f′(x)=0f'(x)=0: 1−1x2=0⇒x2=1⇒x=±11 - \frac{1}{x^2}=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm1. Se studiază semnul derivatei: pentru x<−1x<-1 sau x>1x>1, f′(x)>0f'(x)>0 (funcție crescătoare); pentru −1<x<0-1<x<0 sau 0<x<10<x<1, f′(x)<0f'(x)<0 (funcție descrescătoare). Intervalele de monotonie: crescătoare pe (−∞,−1]∪[1,∞)(-\infty,-1] \cup [1,\infty), descrescătoare pe [−1,0)∪(0,1][-1,0) \cup (0,1].
32 puncte
Asimptote: verticală la x=0x=0 deoarece lim⁡x→0+f(x)=+∞\lim_{x\to 0^+} f(x) = +\infty, lim⁡x→0−f(x)=−∞\lim_{x\to 0^-} f(x) = -\infty; oblică la y=xy=x deoarece lim⁡x→±∞[f(x)−x]=lim⁡x→±∞1x=0\lim_{x\to \pm\infty} [f(x)-x] = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{1}{x}=0.
43 puncte
Se trasează graficul: punctele de extrem (−1,−2)(-1,-2) (maxim local) și (1,2)(1,2) (minim local), asimptotele x=0x=0 și y=xy=x, comportament asimptotic. Reprezentarea include ramurile hiperbolei și linia asimptotă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.