MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se consideră sistemul de ecuații: {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = a \\ x + y + az = a^2 \end{cases}. Determinați valorile reale ale parametrului aa pentru care sistemul are soluție unică. Pentru aceste valori, rezolvați sistemul folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem determinantul sistemului: Δ=∣a111a111a∣\Delta = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}.
23 puncte
Calculăm Δ\Delta: Δ=a⋅det⁡(a11a)−1⋅det⁡(111a)+1⋅det⁡(1a11)=a(a2−1)−1(a−1)+1(1−a)=a3−3a+2\Delta = a \cdot \det \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix} - 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix} + 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = a(a^2 - 1) - 1(a - 1) + 1(1 - a) = a^3 - 3a + 2.
32 puncte
Sistemul are soluție unică dacă Δ≠0\Delta \neq 0. Rezolvăm a3−3a+2=0a^3 - 3a + 2 = 0. Factorizăm: (a−1)2(a+2)=0(a-1)^2(a+2)=0, deci Δ=0\Delta = 0 pentru a=1a=1 sau a=−2a=-2. Astfel, pentru a≠1a \neq 1 și a≠−2a \neq -2, sistemul are soluție unică.
43 puncte
Pentru a≠1a \neq 1 și a≠−2a \neq -2, aplicăm regula lui Cramer. Calculăm Δx=∣111aa1a21a∣\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & a & 1 \\ a^2 & 1 & a \end{vmatrix}, Δy=∣a111a11a2a∣\Delta_y = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & a^2 & a \end{vmatrix}, Δz=∣a111aa11a2∣\Delta_z = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & a \\ 1 & 1 & a^2 \end{vmatrix}. După calcul, obținem Δx=(a−1)2\Delta_x = (a-1)^2, Δy=(a−1)(a2−1)\Delta_y = (a-1)(a^2 - 1), Δz=(a−1)(a2−a−1)\Delta_z = (a-1)(a^2 - a - 1). Soluțiile sunt x=ΔxΔ=(a−1)2a3−3a+2x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{(a-1)^2}{a^3 - 3a + 2}, y=ΔyΔy = \frac{\Delta_y}{\Delta}, z=ΔzΔz = \frac{\Delta_z}{\Delta}. Simplificând, pentru a≠1,−2a \neq 1, -2, avem x=1a+2x = \frac{1}{a+2}, y=a−1a+2y = \frac{a-1}{a+2}, z=a2−a−1a+2z = \frac{a^2 - a - 1}{a+2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.