MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorMonotonie și convexitate
Se consideră funcția f:R∖{−2,2}→Rf:\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1x2−4f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-4}. a) Determinați domeniul de definiție și asimptotele funcției. b) Studiați monotonia și convexitatea funcției pe intervalele de definiție. c) Trasați graficul funcției, marcând punctele importante și asimptotele.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Domeniul de definiție este R∖{−2,2}\mathbb{R}\setminus\{-2,2\} deoarece numitorul nu poate fi zero. Asimptote verticale: x=−2x=-2 și x=2x=2 deoarece limitele laterale ale lui f(x)f(x) la aceste puncte sunt infinite. Asimptotă orizontală: y=1y=1 deoarece lim⁡x→±∞f(x)=1\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=1.
23 puncte
Derivata întâi: f′(x)=2x(x2−4)−2x(x2+1)(x2−4)2=−10x(x2−4)2f'(x)=\frac{2x(x^2-4)-2x(x^2+1)}{(x^2-4)^2}=\frac{-10x}{(x^2-4)^2}. Studiind semnul, f′(x)=0f'(x)=0 pentru x=0x=0, f′(x)>0f'(x)>0 pentru x∈(−∞,−2)∪(−2,0)x\in(-\infty,-2)\cup(-2,0) deci funcția este crescătoare, și f′(x)<0f'(x)<0 pentru x∈(0,2)∪(2,∞)x\in(0,2)\cup(2,\infty) deci funcția este descrescătoare. Punctul x=0x=0 este punct de maxim local cu f(0)=−14f(0)=-\frac{1}{4}.
32 puncte
Derivata a doua: f′′(x)=−10(x2−4)2+40x2(x2−4)(x2−4)4f''(x)=\frac{-10(x^2-4)^2+40x^2(x^2-4)}{(x^2-4)^4}. Se simplifică și se obține f′′(x)=10(3x2+4)(x2−4)3f''(x)=\frac{10(3x^2+4)}{(x^2-4)^3}. Studiind semnul, f′′(x)>0f''(x)>0 pentru x∈(−∞,−2)∪(2,∞)x\in(-\infty,-2)\cup(2,\infty) deci funcția este convexă, și f′′(x)<0f''(x)<0 pentru x∈(−2,2)x\in(-2,2) deci funcția este concavă. Nu există puncte de inflexiune în domeniu.
42 puncte
Trasarea graficului: se notează asimptotele verticale (x=−2x=-2, x=2x=2) și orizontală (y=1y=1), punctul de maxim (0,−1/4)(0,-1/4), și comportamentul pe intervale conform monotoniei și convexității.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.