MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii u⃗=(a+1)i⃗+bj⃗+2k⃗\vec{u} = (a+1)\vec{i} + b\vec{j} + 2\vec{k}, v⃗=3i⃗+(b−1)j⃗+ck⃗\vec{v} = 3\vec{i} + (b-1)\vec{j} + c\vec{k}, și w⃗=ai⃗+cj⃗+k⃗\vec{w} = a\vec{i} + c\vec{j} + \vec{k}. Dacă u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v}, w⃗\vec{w} sunt coplanari și ∣u⃗∣=14|\vec{u}| = \sqrt{14}, determinați numerele reale aa, bb, cc.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem condiția de coplanaritate: u⃗⋅(v⃗×w⃗)=0\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = 0.
23 puncte
Calculăm produsul mixt: v⃗×w⃗=∣i⃗j⃗k⃗3b−1cac1∣=i⃗(b−1−c2)−j⃗(3−ac)+k⃗(3c−a(b−1))\vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & b-1 & c \\ a & c & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(b-1-c^2) - \vec{j}(3-ac) + \vec{k}(3c - a(b-1)). Apoi u⃗⋅(v⃗×w⃗)=(a+1)(b−1−c2)+b(ac−3)+2(3c−a(b−1))=0\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = (a+1)(b-1-c^2) + b(ac-3) + 2(3c - a(b-1)) = 0, obținând o ecuație.
32 puncte
Condiția pentru modul: ∣u⃗∣2=(a+1)2+b2+4=14⇒(a+1)2+b2=10|\vec{u}|^2 = (a+1)^2 + b^2 + 4 = 14 \Rightarrow (a+1)^2 + b^2 = 10.
43 puncte
Rezolvăm sistemul de ecuații din pașii anteriori pentru a găsi aa, bb, cc.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.