MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 9

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareTrigonometrie
Să se determine toate soluțiile sistemului: {sin⁡x+sin⁡y=2cos⁡x+cos⁡y=2\begin{cases} \sin x + \sin y = \sqrt{2} \\ \cos x + \cos y = \sqrt{2} \end{cases} pentru x,y∈[0,2π)x, y \in [0, 2\pi).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se aplică formulele pentru suma sinusurilor și cosinusurilor: sin⁡x+sin⁡y=2sin⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) și cos⁡x+cos⁡y=2cos⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)\cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right).
24 puncte
Sistemul devine {2sin⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)=22cos⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)=2\begin{cases} 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \sqrt{2} \\ 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \sqrt{2} \end{cases}. Presupunând cos⁡(x−y2)≠0\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) \neq 0, se împarte cele două ecuații și se obține tan⁡(x+y2)=1\tan\left(\frac{x+y}{2}\right) = 1, deci x+y2=π4+kπ\frac{x+y}{2} = \frac{\pi}{4} + k\pi cu k∈Zk \in \mathbb{Z}.
33 puncte
Se substituie în una dintre ecuații, de exemplu cos⁡(x−y2)=22cos⁡(x+y2)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right)}. Pentru x+y2=π4+kπ\frac{x+y}{2} = \frac{\pi}{4} + k\pi, avem cos⁡(x+y2)=±22\cos\left(\frac{x+y}{2}\right) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, deci cos⁡(x−y2)=±1\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \pm 1. Atunci x−y2=mπ\frac{x-y}{2} = m\pi cu m∈Zm \in \mathbb{Z}. Rezolvând sistemul {x+y=π2+2kπx−y=2mπ\begin{cases} x+y = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \\ x-y = 2m\pi \end{cases} și considerând x,y∈[0,2π)x,y \in [0,2\pi), se obțin soluțiile (x,y)=(π4,π4),(5π4,5π4)(x,y) = \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right), \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right) și perechile simetrice.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.