MediuIdentități algebriceClasa 10

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebricePolinoameNumere Complexe
Fie P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c un polinom cu rădăcinile x1,x2,x3∈Cx_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}. Exprimați x13+x23+x33x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 în funcție de a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți relațiile lui Viète pentru polinom: x1+x2+x3=−ax_1 + x_2 + x_3 = -a, x1x2+x2x3+x3x1=bx_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = b, x1x2x3=−cx_1 x_2 x_3 = -c.
23 puncte
Folosiți identitatea x13+x23+x33−3x1x2x3=(x1+x2+x3)(x12+x22+x32−x1x2−x2x3−x3x1)x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 - 3x_1 x_2 x_3 = (x_1 + x_2 + x_3)(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - x_1 x_2 - x_2 x_3 - x_3 x_1).
33 puncte
Exprimați x12+x22+x32x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 în funcție de suma și suma produselor: x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x2x3+x3x1)=a2−2bx_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1) = a^2 - 2b.
42 puncte
Înlocuiți în identitate și simplificați: x13+x23+x33=3(−c)+(−a)[(a2−2b)−b]=−3c−a(a2−3b)=−a3+3ab−3cx_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 3(-c) + (-a)[(a^2 - 2b) - b] = -3c - a(a^2 - 3b) = -a^3 + 3ab - 3c.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.