MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieVectoriTrigonometrie
Fie paralelogramul ABCD cu AB=4AB = 4, AD=6AD = 6 și ∠DAB=120∘\angle DAB = 120^\circ. Calculați lungimile diagonalelor și aria paralelogramului. Apoi, determinați măsura unghiului dintre diagonale.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
În triunghiul ABD, aplicăm teorema cosinusului: BD2=AB2+AD2−2⋅AB⋅AD⋅cos⁡∠DAB=42+62−2⋅4⋅6⋅cos⁡120∘=16+36−2⋅4⋅6⋅(−12)=52+24=76BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle DAB = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos 120^\circ = 16 + 36 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 52 + 24 = 76, deci BD=76=219BD = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}.\n
23 puncte
Pentru diagonala AC, în triunghiul ABC, avem BC=AD=6BC = AD = 6 și ∠ABC=180∘−∠DAB=60∘\angle ABC = 180^\circ - \angle DAB = 60^\circ. Aplicăm teorema cosinusului: AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos⁡∠ABC=42+62−2⋅4⋅6⋅12=16+36−24=28AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 16 + 36 - 24 = 28, deci AC=28=27AC = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}.\n
32 puncte
Aria paralelogramului este AB⋅AD⋅sin⁡∠DAB=4⋅6⋅sin⁡120∘=24⋅32=123AB \cdot AD \cdot \sin \angle DAB = 4 \cdot 6 \cdot \sin 120^\circ = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}.\n
42 puncte
Fie O intersecția diagonalelor. În triunghiul AOB, AO=AC2=7AO = \frac{AC}{2} = \sqrt{7}, BO=BD2=19BO = \frac{BD}{2} = \sqrt{19}, și AB=4AB = 4. Aplicăm teorema cosinusului: cos⁡∠AOB=AO2+BO2−AB22⋅AO⋅BO=7+19−162⋅7⋅19=102133=5133\cos \angle AOB = \frac{AO^2 + BO^2 - AB^2}{2 \cdot AO \cdot BO} = \frac{7 + 19 - 16}{2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{19}} = \frac{10}{2\sqrt{133}} = \frac{5}{\sqrt{133}}. Astfel, unghiul dintre diagonale este ∠AOB=arccos⁡(5133)\angle AOB = \arccos\left(\frac{5}{\sqrt{133}}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.