MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Într-un triunghi ascuțitunghic ABC, se cunosc BC=aBC = a, m(∠BAC)=αm(\angle BAC) = \alpha, iar înălțimea din A are lungimea hah_a. Dacă aria triunghiului este egală cu a24tan⁡α\frac{a^2}{4} \tan \alpha, demonstrați că triunghiul este isoscel.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem aria triunghiului în două moduri: S=12ahaS = \frac{1}{2} a h_a și S=12AB⋅AC⋅sin⁡αS = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin \alpha.
24 puncte
Din ipoteză, S=a24tan⁡αS = \frac{a^2}{4} \tan \alpha. Egalam expresiile, obținem 12aha=a24tan⁡α\frac{1}{2} a h_a = \frac{a^2}{4} \tan \alpha, deci ha=a2tan⁡αh_a = \frac{a}{2} \tan \alpha. Folosim teorema sinusurilor: ABsin⁡C=ACsin⁡B=asin⁡α\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{a}{\sin \alpha}. Exprimăm ABAB și ACAC și substituim în formula ariei cu sinus, apoi egalăm cu a24tan⁡α\frac{a^2}{4} \tan \alpha pentru a deduce că sin⁡B=sin⁡C\sin B = \sin C.
33 puncte
Deoarece triunghiul este ascuțitunghic, din sin⁡B=sin⁡C\sin B = \sin C rezultă B=CB = C sau B=π−CB = \pi - C, dar suma unghiurilor este π\pi, deci B=CB = C, astfel triunghiul este isoscel cu AB=ACAB = AC.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.