MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteEcuații logaritmice
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x)xf(x) = \frac{\ln(x)}{x}. Determină asimptotele funcției ff și rezolvă ecuația f(x)=1ef(x) = \frac{1}{e}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se determină asimptota verticală: x=0x = 0, deoarece lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+ln⁡(x)x=−∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x} = -\infty. \n
22 puncte
Se determină asimptota orizontală: y=0y = 0, deoarece lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞ln⁡(x)x=0\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 (folosind regula lui l'Hospital sau proprietăți ale creșterii logaritmice). \n
36 puncte
Se rezolvă ecuația ln⁡(x)x=1e\frac{\ln(x)}{x} = \frac{1}{e}. Se notează t=ln⁡(x)t = \ln(x), atunci x=etx = e^t și ecuația devine tet=1e\frac{t}{e^t} = \frac{1}{e}, adică t=et−1t = e^{t-1}. Se observă că t=1t=1 este soluție (deoarece 1=e01 = e^{0}). Se consideră funcția h(t)=t−et−1h(t) = t - e^{t-1}; derivata h′(t)=1−et−1h'(t) = 1 - e^{t-1} are semn negativ pentru t>1t > 1 și pozitiv pentru t<1t < 1, deci hh este strict crescătoare pe (−∞,1)(-\infty, 1) și strict descrescătoare pe (1,∞)(1, \infty), având maxim la t=1t=1 cu h(1)=0h(1)=0. Astfel, t=1t=1 este singura soluție. Revenind, ln⁡(x)=1\ln(x)=1, deci x=ex=e.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.