MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorAsimptote
Se consideră funcția f:R∖{2}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4x+5x−2f(x) = \frac{x^2 - 4x + 5}{x-2}. Determinați domeniul de definiție, intervalele de monotonie, punctele de extrem local, asimptotele și schițați graficul.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Domeniul de definiție este Df=R∖{2}D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}.
22 puncte
Calculăm derivata: f′(x)=(2x−4)(x−2)−(x2−4x+5)(x−2)2=x2−4x+3(x−2)2=(x−1)(x−3)(x−2)2f'(x) = \frac{(2x-4)(x-2) - (x^2-4x+5)}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x-2)^2} = \frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}.
32 puncte
Punctele critice: f′(x)=0⇒x=1f'(x)=0 \Rightarrow x=1 sau x=3x=3.
42 puncte
Studiem semnul derivatei: pe (−∞,1)(-\infty,1), f′(x)>0f'(x)>0 (funcția este crescătoare); pe (1,2)(1,2), f′(x)<0f'(x)<0 (descrescătoare); pe (2,3)(2,3), f′(x)<0f'(x)<0 (descrescătoare); pe (3,∞)(3,\infty), f′(x)>0f'(x)>0 (crescătoare). Extrem local la x=1x=1 (maxim) și x=3x=3 (minim).
52 puncte
Asimptote: verticală la x=2x=2 deoarece lim⁡x→2f(x)=∞\lim_{x \to 2} f(x) = \infty; oblică: calculăm m=lim⁡x→∞f(x)x=1m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 1 și n=lim⁡x→∞(f(x)−mx)=−2n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = -2, deci asimptota oblică este y=x−2y = x - 2.
61 punct
Schița graficului se bazează pe intervalele de monotonie, punctele de extrem și asimptotele determinate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.