MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiNumere Complexe
Calculați determinantul Δ=∣11+i1−i1−i11+i1+i1−i1∣\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1+i & 1-i \\ 1-i & 1 & 1+i \\ 1+i & 1-i & 1 \end{vmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1, și arătați că este un număr real.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
11 punct
Scriem determinantul Δ\Delta.
26 puncte
Dezvoltăm determinantul după prima linie: Δ=1⋅∣11+i1−i1∣−(1+i)⋅∣1−i1+i1+i1∣+(1−i)⋅∣1−i11+i1−i∣\Delta = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1+i \\ 1-i & 1 \end{vmatrix} - (1+i) \cdot \begin{vmatrix} 1-i & 1+i \\ 1+i & 1 \end{vmatrix} + (1-i) \cdot \begin{vmatrix} 1-i & 1 \\ 1+i & 1-i \end{vmatrix}. Calculăm fiecare determinant de ordinul 2: ∣11+i1−i1∣=1⋅1−(1+i)(1−i)=1−(1−i2)=1−(1+1)=−1\begin{vmatrix} 1 & 1+i \\ 1-i & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - (1+i)(1-i) = 1 - (1 - i^2) = 1 - (1 + 1) = -1; ∣1−i1+i1+i1∣=(1−i)⋅1−(1+i)(1+i)=1−i−(1+2i+i2)=1−i−(1+2i−1)=1−i−2i=1−3i\begin{vmatrix} 1-i & 1+i \\ 1+i & 1 \end{vmatrix} = (1-i) \cdot 1 - (1+i)(1+i) = 1-i - (1+2i+i^2) = 1-i - (1+2i-1) = 1-i - 2i = 1-3i; ∣1−i11+i1−i∣=(1−i)(1−i)−1⋅(1+i)=(1−2i+i2)−(1+i)=(1−2i−1)−1−i=−2i−1−i=−1−3i\begin{vmatrix} 1-i & 1 \\ 1+i & 1-i \end{vmatrix} = (1-i)(1-i) - 1 \cdot (1+i) = (1 - 2i + i^2) - (1+i) = (1-2i-1) -1 -i = -2i -1 -i = -1-3i. Înlocuim: Δ=1⋅(−1)−(1+i)(1−3i)+(1−i)(−1−3i)=−1−[(1)(1−3i)+i(1−3i)]+[(1)(−1−3i)−i(−1−3i)]=−1−[1−3i+i−3i2]+[−1−3i+i+3i2]=−1−[1−2i+3]+[−1−2i−3]=−1−[4−2i]+[−4−2i]=−1−4+2i−4−2i=−9\Delta = 1 \cdot (-1) - (1+i)(1-3i) + (1-i)(-1-3i) = -1 - [(1)(1-3i) + i(1-3i)] + [(1)(-1-3i) - i(-1-3i)] = -1 - [1-3i + i-3i^2] + [-1-3i + i+3i^2] = -1 - [1-2i+3] + [-1-2i-3] = -1 - [4-2i] + [-4-2i] = -1 -4 +2i -4 -2i = -9.
32 puncte
Observăm că Δ=−9\Delta = -9, care este un număr real.
41 punct
Concluzie, determinantul este Δ=−9\Delta = -9, un număr real.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.