MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteEcuații logaritmiceStudiul funcțiilor
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R} dată de f(x)=ln⁡(x)xf(x) = \frac{\ln(x)}{x}. Determinați asimptotele acestei funcții și rezolvați ecuația f(x)=e−1f(x) = e^{-1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul este (0,∞)(0, \infty). Studiați asimptota verticală: lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+ln⁡(x)x=−∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x} = -\infty, deci x=0x=0 este asimptotă verticală. Pentru asimptota orizontală la ∞\infty: lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞ln⁡(x)x=0\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 (folosind, de exemplu, regula lui l'Hôpital).
24 puncte
Asimptota orizontală este y=0y=0. Nu există asimptote oblice deoarece lim⁡x→∞f(x)x=lim⁡x→∞ln⁡(x)x2=0\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x^2} = 0.
33 puncte
Rezolvați ecuația f(x)=e−1f(x) = e^{-1}, adică ln⁡(x)x=1e\frac{\ln(x)}{x} = \frac{1}{e}. Observăm că pentru x=ex=e, ln⁡(e)=1\ln(e)=1 și 1e=1e\frac{1}{e} = \frac{1}{e}, deci x=ex=e este o soluție. Pentru a verifica unicitatea, considerați funcția g(x)=ln⁡(x)−xeg(x) = \ln(x) - \frac{x}{e}; derivata g′(x)=1x−1eg'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{e} se anulează la x=ex=e, iar g(x)g(x) are maxim în x=ex=e, cu g(e)=0g(e)=0, deci x=ex=e este singura soluție.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.