MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorAsimptote
Se consideră funcția f:R∖{2}→Rf : \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}. Să se determine: a) asimptotele funcției; b) intervalele de monotonie și punctele de extrem local; c) intervalele de convexitate și concavitate și punctele de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculul asimptotelor. Asimptota verticală: x=2x=2 deoarece lim⁡x→2f(x)=∞\lim_{x \to 2} f(x) = \infty. Asimptota oblică: y=mx+ny = mx + n, unde m=lim⁡x→±∞f(x)x=1m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 1, n=lim⁡x→±∞[f(x)−mx]=2n = \lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - mx] = 2, deci y=x+2y = x+2.
23 puncte
Derivata întâi: f′(x)=(2x)(x−2)−(x2−1)(x−2)2=x2−4x+1(x−2)2f'(x) = \frac{(2x)(x-2) - (x^2-1)}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x +1}{(x-2)^2}. Se rezolvă f′(x)=0f'(x)=0: x2−4x+1=0x^2 - 4x +1=0 cu soluțiile x1,2=2±3x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{3}. Studiul semnului derivatei: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−∞,2−3)∪(2+3,∞)x \in (-\infty, 2-\sqrt{3}) \cup (2+\sqrt{3}, \infty), deci f crescătoare; f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(2−3,2)∪(2,2+3)x \in (2-\sqrt{3}, 2) \cup (2, 2+\sqrt{3}), deci f descrescătoare. Puncte de extrem: maxim local la x=2−3x=2-\sqrt{3}, minim local la x=2+3x=2+\sqrt{3}.
33 puncte
Derivata a doua: f′′(x)=ddx(x2−4x+1(x−2)2)=(2x−4)(x−2)2−(x2−4x+1)⋅2(x−2)(x−2)4=2(x−2)3f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2 - 4x +1}{(x-2)^2} \right) = \frac{(2x-4)(x-2)^2 - (x^2-4x+1) \cdot 2(x-2)}{(x-2)^4} = \frac{2}{(x-2)^3}. Semnul derivatei a doua: f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>2x > 2, deci f convexă pe (2,∞)(2, \infty); f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<2x < 2, deci f concavă pe (−∞,2)(-\infty, 2). Nu există puncte de inflexiune deoarece f′′(x)f''(x) nu se anulează.
42 puncte
Concluzii: asimptotele sunt x=2x=2 și y=x+2y=x+2, intervalele de monotonie și punctele de extrem precizate, convexitate pe (2,∞)(2, \infty), concavitate pe (−∞,2)(-\infty, 2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.