MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateStudiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, definită prin f(x)={ax2+bx+1x−1,daca˘ x<10,daca˘ x=1x+3−2,daca˘ x>1f(x) = \begin{cases} \frac{ax^2 + bx + 1}{x-1}, & \text{dacă } x < 1 \\ 0, & \text{dacă } x = 1 \\ \sqrt{x+3} - 2, & \text{dacă } x > 1 \end{cases}. Determinați valorile reale ale parametrilor aa și bb pentru care ff este continuă în x=1x=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Pentru ca limita la stânga în x=1x=1 să fie finită, numărătorul fracției trebuie să se anuleze: a(1)2+b(1)+1=0⇒a+b+1=0a(1)^2 + b(1) + 1 = 0 \Rightarrow a + b + 1 = 0.
23 puncte
Cu condiția de la pasul 1, calculați limita la stânga: lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1−a(x2−1)+b(x−1)x−1=lim⁡x→1−(a(x+1)+b)=2a+b\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{a(x^2 -1) + b(x-1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} (a(x+1) + b) = 2a + b.
32 puncte
Calculați limita la dreapta în x=1x=1: lim⁡x→1+f(x)=lim⁡x→1+(x+3−2)=4−2=0\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (\sqrt{x+3} - 2) = \sqrt{4} - 2 = 0.
42 puncte
Impuneți condiția de continuitate: lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1+f(x)=f(1)=0\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 0, deci 2a+b=02a + b = 0. Rezolvați sistemul {a+b+1=02a+b=0\begin{cases} a + b + 1 = 0 \\ 2a + b = 0 \end{cases} obținând a=1a = 1, b=−2b = -2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.