MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteStudiul funcțiilorDerivate
Se consideră funcția f:R∖{−1,1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{ -1, 1 \} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2x2−1f(x) = \frac{x^2 + 2}{x^2 - 1}. Determinați asimptotele funcției ff și studiați monotonia acesteia pe domeniul său de definiție.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Determinarea domeniului de definiție: R∖{−1,1}\mathbb{R} \setminus \{ -1, 1 \}. Calculul limitelor pentru asimptote verticale: lim⁡x→−1−f(x)=+∞\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty, lim⁡x→−1+f(x)=−∞\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty, lim⁡x→1−f(x)=−∞\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty, lim⁡x→1+f(x)=+∞\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty. Asimptote verticale: x=−1x = -1 și x=1x = 1. Calculul limitei pentru asimptotă orizontală: lim⁡x→±∞f(x)=1\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 1. Asimptotă orizontală: y=1y = 1.
26 puncte
Calculul derivatei: f′(x)=2x(x2−1)−(x2+2)⋅2x(x2−1)2=−6x(x2−1)2f'(x) = \frac{2x(x^2 - 1) - (x^2 + 2) \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-6x}{(x^2 - 1)^2}. Studierea semnului derivatei: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x<−1x < -1 și x∈(−1,0)x \in (-1, 0), deci ff este crescătoare pe (−∞,−1)(-\infty, -1) și (−1,0)(-1, 0); f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(0,1)x \in (0, 1) și x>1x > 1, deci ff este descrescătoare pe (0,1)(0, 1) și (1,∞)(1, \infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.