MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieGeometrie AnaliticăVectori
Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' se cunosc AB=6AB = 6, AD=8AD = 8, și AA′=10AA' = 10. Calculați măsura unghiului dintre dreptele AC′AC' și BD′BD'.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se alege un sistem de coordonate cu originea în AA: A(0,0,0)A(0,0,0), B(6,0,0)B(6,0,0), D(0,8,0)D(0,8,0), A′(0,0,10)A'(0,0,10). Atunci C′(6,8,10)C'(6,8,10) și D′(0,8,10)D'(0,8,10).
22 puncte
Vectorii direcție pentru dreptele AC′AC' și BD′BD' sunt AC′⃗=(6,8,10)\vec{AC'} = (6,8,10) și BD′⃗=(−6,8,10)\vec{BD'} = (-6,8,10) (deoarece BD′BD' are direcția de la B(6,0,0)B(6,0,0) la D′(0,8,10)D'(0,8,10)).
33 puncte
Se calculează produsul scalar: AC′⃗⋅BD′⃗=6⋅(−6)+8⋅8+10⋅10=−36+64+100=128\vec{AC'} \cdot \vec{BD'} = 6 \cdot (-6) + 8 \cdot 8 + 10 \cdot 10 = -36 + 64 + 100 = 128. Normele: ∣AC′⃗∣=62+82+102=36+64+100=200=102|\vec{AC'}| = \sqrt{6^2 + 8^2 + 10^2} = \sqrt{36+64+100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}, și similar ∣BD′⃗∣=102|\vec{BD'}| = 10\sqrt{2}.
43 puncte
Cosinusul unghiului θ\theta dintre drepte este cos⁡θ=∣AC′⃗⋅BD′⃗∣∣AC′⃗∣⋅∣BD′⃗∣=128102⋅102=128200=1625=0,64\cos \theta = \frac{|\vec{AC'} \cdot \vec{BD'}|}{|\vec{AC'}| \cdot |\vec{BD'}|} = \frac{128}{10\sqrt{2} \cdot 10\sqrt{2}} = \frac{128}{200} = \frac{16}{25} = 0,64. Deci, θ=arccos⁡(0,64)\theta = \arccos(0,64) (se poate aproxima sau lăsa în această formă).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.