MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 10

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareEcuații iraționaleAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se determine soluțiile reale ale sistemului: {1x+1y=12x+y=x−y\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \\ \sqrt{x+y} = x - y \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Stabilirea condițiilor de existență: x≠0x \neq 0, y≠0y \neq 0, x+y≥0x+y \geq 0, și x−y≥0x-y \geq 0.
23 puncte
Din prima ecuație, x+yxy=12⇒xy=2(x+y)\frac{x+y}{xy} = \frac{1}{2} \Rightarrow xy = 2(x+y).
33 puncte
Ridicând la pătrat a doua ecuație: x+y=(x−y)2=x2−2xy+y2x+y = (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2. Înlocuind xy=2(x+y)xy = 2(x+y), obținem x+y=x2+y2−4(x+y)⇒x2+y2−5(x+y)=0x+y = x^2 + y^2 - 4(x+y) \Rightarrow x^2 + y^2 - 5(x+y) = 0.
42 puncte
Folosind xy=2(x+y)xy = 2(x+y) și x2+y2=(x+y)2−2xyx^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy, se substituie: (x+y)2−2⋅2(x+y)−5(x+y)=0⇒(x+y)2−9(x+y)=0⇒x+y(x+y−9)=0(x+y)^2 - 2 \cdot 2(x+y) - 5(x+y) = 0 \Rightarrow (x+y)^2 - 9(x+y) = 0 \Rightarrow x+y(x+y - 9) = 0. Deci x+y=0x+y=0 sau x+y=9x+y=9. Pentru x+y=0x+y=0, din condiții nu este valid. Pentru x+y=9x+y=9, din xy=18xy=18 și x−y≥0x-y \geq 0, se rezolvă sistemul {x+y=9xy=18\begin{cases} x+y=9 \\ xy=18 \end{cases}, obținând x=6,y=3x=6, y=3 sau x=3,y=6x=3, y=6. Verificând x−y≥0x-y \geq 0, doar x=6,y=3x=6, y=3 este soluție.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.