MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteStudiul funcțiilorDomeniul de definiție al funcțiilor
Fie funcția f:R∖{−2,2}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} \to \mathbb{R}, f(x)=x3+2x2−x−2x2−4f(x) = \frac{x^3 + 2x^2 - x - 2}{x^2 - 4}. Determinați asimptotele graficului funcției ff și discutați monotonia acesteia.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinarea domeniului de definiție: Df=R∖{−2,2}D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}, cu punctele de nedefinire x=−2x = -2 și x=2x = 2.
24 puncte
Calculul limitelor pentru asimptote verticale: lim⁡x→−2f(x)=lim⁡x→−2(x+2)(x2−1)(x−2)(x+2)=lim⁡x→−2x2−1x−2=3−4=−34\lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} \frac{(x+2)(x^2 - 1)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 1}{x-2} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}, deci nu există asimptotă verticală la x=−2x = -2 (limită finită); lim⁡x→2f(x)=lim⁡x→2x2−1x−2=30=∞\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 1}{x-2} = \frac{3}{0} = \infty, deci există asimptotă verticală x=2x = 2.
33 puncte
Determinarea asimptotei oblice: se împarte polinoamele: f(x)=x+2+3x+6x2−4f(x) = x + 2 + \frac{3x + 6}{x^2 - 4}; se calculează m=lim⁡x→±∞f(x)x=1m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 1 și n=lim⁡x→±∞(f(x)−x)=2n = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - x) = 2, deci asimptota oblică este y=x+2y = x + 2. Studiul monotoniei: derivata f′(x)=3x2−8x−1(x2−4)2f'(x) = \frac{3x^2 - 8x - 1}{(x^2 - 4)^2}; se analizează semnul pe intervalele (−∞,−2)(-\infty, -2), (−2,2)(-2, 2), (2,∞)(2, \infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.