MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateAplicații ale derivatelor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x+x2f(x) = e^{-x} + x^2. Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. Determinați punctele de extrem local, dacă există, și intervalele în care funcția este convexă sau concavă.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=−e−x+2xf'(x) = -e^{-x} + 2x. Pentru a găsi punctele critice, rezolvăm f′(x)=0f'(x)=0: −e−x+2x=0⇒2x=e−x-e^{-x} + 2x = 0 \Rightarrow 2x = e^{-x}. Această ecuație nu are soluție analitică simplă, dar observăm că f′(0)=−1<0f'(0) = -1 < 0 și f′(1)=−e−1+2>0f'(1) = -e^{-1} + 2 > 0. Deoarece f′f' este continuă, există o rădăcină în (0,1)(0,1).
23 puncte
Derivata f′(x)f'(x) este strict crescătoare, deoarece derivata a doua f′′(x)=e−x+2>0f''(x) = e^{-x} + 2 > 0 pentru orice xx. Astfel, f′f' are un singur zero, să-l notăm c∈(0,1)c \in (0,1). Pentru x<cx < c, f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff descrescătoare; pentru x>cx > c, f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff crescătoare. Punctul x=cx=c este punct de minim local.
32 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=e−x+2f''(x) = e^{-x} + 2. Deoarece e−x>0e^{-x} > 0 pentru orice xx, avem f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru toate x∈Rx \in \mathbb{R}.
42 puncte
Din f′′(x)>0f''(x) > 0, funcția ff este convexă pe întregul domeniu R\mathbb{R}. Nu există puncte de inflexiune, deoarece derivata a doua nu își schimbă semnul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.