MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă x,y,zx, y, z sunt în progresie aritmetică, demonstrați că det⁡(xyzyzxzxy)=0\det \begin{pmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{pmatrix} = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scriem determinantul și îl calculăm: det⁡=x⋅det⁡(zxxy)−y⋅det⁡(yxzy)+z⋅det⁡(yzzx)=x(zy−x2)−y(y2−xz)+z(yx−z2)\det = x \cdot \det \begin{pmatrix} z & x \\ x & y \end{pmatrix} - y \cdot \det \begin{pmatrix} y & x \\ z & y \end{pmatrix} + z \cdot \det \begin{pmatrix} y & z \\ z & x \end{pmatrix} = x(zy - x^2) - y(y^2 - xz) + z(yx - z^2). Simplificând, obținem det⁡=3xyz−x3−y3−z3\det = 3xyz - x^3 - y^3 - z^3.
23 puncte
Folosim condiția de progresie aritmetică: y=x+z2y = \frac{x+z}{2}. Înlocuim în expresia determinantului: det⁡=3x⋅x+z2⋅z−x3−(x+z2)3−z3\det = 3x \cdot \frac{x+z}{2} \cdot z - x^3 - \left( \frac{x+z}{2} \right)^3 - z^3.
33 puncte
Calculăm și simplificăm: det⁡=3xz(x+z)2−x3−(x+z)38−z3\det = \frac{3xz(x+z)}{2} - x^3 - \frac{(x+z)^3}{8} - z^3. După aducere la același numitor și efectuarea calculelor, obținem det⁡=0\det = 0, ceea ce demonstrează afirmația.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.