MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareGeometrie AnaliticăVectori
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=12x−y+z=23x+y+kz=3\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x - y + z = 2 \\ 3x + y + kz = 3 \end{cases}, unde kk este un parametru real. a) Discutați sistemul în funcție de valorile lui kk. b) Pentru k=2k=2, determinați soluția sistemului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem matricea sistemului A=(1112−1131k)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & k \end{pmatrix} și calculăm determinantul D=det⁡(A)=7−3kD = \det(A) = 7 - 3k.
24 puncte
Pentru D≠0D \neq 0, adică k≠73k \neq \frac{7}{3}, sistemul este compatibil determinat. Pentru k=73k = \frac{7}{3}, studiem rangurile: matricea extinsă are rangul 3, iar matricea sistemului are rangul 2, deci sistemul este incompatibil.
32 puncte
Pentru k=2k=2, deoarece D≠0D \neq 0, rezolvăm sistemul folosind metoda lui Cramer, obținând soluția unică x=1,y=0,z=0x=1, y=0, z=0.
41 punct
Interpretăm geometric: pentru k≠73k \neq \frac{7}{3}, cele trei plane reprezentate de ecuații se intersectează într-un punct unic; pentru k=73k = \frac{7}{3}, planele nu au un punct comun.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.